分析:
经过观察,可以发现这个规律,
(a^3+b^3)/(a^3+c^3) = (a+b)/(a+c) …………(*)
其中,a、b、c均为正整数,且b≠c。
而,a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2), a^3+c^3 = (a+c)(a^2-ac+c^2)
所以,要使烂数(*)式成立,只需令 a^2-ab+b^2 = a^2-ac+c^2 成立,
化简得,(b-c)(b+c-a)=0
因为,b≠c,所以只需 证明饥薯首b+c =a 即可
************以下是证明过程(其实就是分析过程的逆推)************
证明:假设对于任意正整数手数a、b、c,满足a = b+c ,且b≠c
所以,(b-c)(b+c-a)=0,
化简得, b^2-c^2-ab+ac=0
上式变形得,a^2-ab+b^2 = a^2-ac+c^2
因为,a^2-ab+b^2 = (a-b)^2+ab >= ab > 0
所以,(a^2-ab+b^2)/(a^2-ac+c^2) = 1
所以有,(a^3+b^3)/(a^3+c^3) = (a+b)(a^2-ab+b^2) / [(a+c)(a^2-ac+c^2)]
= (a+b)/(a+c)
所以,对于任意正整数a、b、c (a=b+c,b≠c),
等式(a^3+b^3)/(a^3+c^3) = (a+b)/(a+c) 恒成立