外接球半径应该是√6/3
楼主到“因此∠BOE=30度”完全正确
后面应设半径为r
r平方= (√2/2)平方+(√6/2-r)平方
解得r=√6/3
如图
AB=1; OB=√2
易知
BE=√2/2
EG=1/2
正四棱锥的外接球和内切球球心肯定在OE上,设外接球球心为M,内切球球心为N
且符合以下条件:
外接球:OM=MB(到顶点距离相等)
内切球:NE=NF(到面距离相等)
因此,我们得到△OBE
BE=√2/2
OB=√2
因此∠BOE=30度
OE=BE×√3=√6/2
故OM=MB=OE/2=√6/4
即外接圆半径为√6/4
考查△OEG,
EG=1/2
OE=√6/2
故OG=√7/2
根据三角形面积关系,设NE=NF=n
S△ENG+S△ONG=S△OEG
n×EG+n×OG=EG×OE
n/2+√7n/2=√6/4
n=√6×(√7-1)/12
即内切球半径为
√6×(√7-1)/12
即外接球半径为√6/4
即内切球半径为√6×(√7-1)/12
再根据 球的表面积=4πr^2
V球=(4/3)πr^3计算一下就行了。
晕