解:设抛物线的方程为y=ax²+bx+c,则:
-b/2a=5/2————————①
c=2——————————②
14=64a+8b+c——————③
解①②③组成的方程组得:a=1/2,b=-5/2,c=2
所以:抛物线的解析式为y=(1/2)x²-(5/2)x+2
(2) 当y=0时,有方程(1/2)x²-(5/2)x+2=0
解这个方程得:x1=1,x2=4
所以:C(1,0) , D(4,0)
所以:AC的长为√[(8-1)²+14²]=7√5
AB的长为√[8²+(14-2)²]=2√52
则:AC+AB=7(√5)+2(√52)
设p点的坐标为(m,0),则:
PA=√[(8-m)²+14²]
PB=√[m²+2²]=√[m²+4]
所以:PA+PB=√[(8-m)²+14²]+√[m²+4]
B点关于x轴对称的点B'的坐标为(0,-2),直线B'A的方程为y=2x-2,此方程与x轴的交点是(1,0)
即:当m=1时,PA+PB的值最小,
也就是当P点与C点重合时,PA+PB的值最小,最小值是7(√5)+2(√52)
因此:PA+PB≥AC+AB
(3)存在。
作BC与y轴夹的钝角∠CBy的平分线与抛物线交于一点E,
此时以E为圆心的元于BC相切,也与y轴相切,即与y轴有一个交点。
设E(e,(1/2)e²-(5/2)e+2),则:
E点到y轴的距离为e,到BC的距离也为e,
直线BC的方程为y=-2x+2
根据点到直线的距离公式有:e=|2e+(1/2)e²-(5/2)e+2-2|/√5
求得:e=1+2√5
即:以E为圆心时,半径为1+2√5时,恰好与BC和y轴都相切。
因此:半径R的取值范围是R≥1+2√5,大于时与y轴有两个交点,等于时与y轴有一个交点。
y=24/11(X-5/2)+2